Bioestadistica: Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( $p$ ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso ( $q=1-p$ ).
Si $X$ es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria $X \,$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p \,$ .

$X \sim Be(p) \,$
La fórmula será:
$f(x) = p^x(1-p)^{1-x} \, \qquad \text{ con } \, x = \{0, 1\} \,$
Su función de distribución viene definida por:

$f\left(x;p\right) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ q & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {en cualquier otro caso}\end{matrix}\right.$

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Propiedades características
Esperanza matemática:

$E\left[X\right] = p = u$

Varianza:

$var\left[X\right] = p \left(1 - p\right) = p q$

Función generatriz de momentos:

$\left( q + p e^{t} \right)$

Función característica:

$\left( q + p e^{i t} \right)$

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):

$\gamma_1 = \frac{q - p}{ \sqrt{q p} }$

Curtosis:

$\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$

La Curtosis tiende a infinito para valores de $p$ cercanos a 0 ó a 1, pero para $p=\frac{1}{2}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

Ejemplo
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.
$X \sim Be(0,5)$
$P(X = 0) = f(0) = 0,5^0 0,5^1 = 0,5$
$P(X = 1) = f(1) = 0,5^1 0,5^0 = 0,5$

Ejemplo:
"Lanzar un dado y salir un 6".
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:
$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).
Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según la principio de indiferencia de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.
$p = 1/6$
Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.
$q = 1 - p = 1- 1/6 = 5/6$
La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).
Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro $p$ = 1/6
$X \sim Be(1/6)$
La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.
$P(X = 1) = f(1) = (1/6)^1 * (5/6)^0 = 1/6 = 0.1667$
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.
$P(X = 0) = f(0) = (1/6)^0 * (5/6)^1 = 5/6 = 0.8333$

Bioestadistica

miércoles, 5 de diciembre de 2012

Distribución de Bernoulli

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